Linear System

linear equations의 집합. 연립 방정식 풀이의 system이 된다.

Linear equation

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에 대하여, ${\vec{a}}^{\top }\vec{x}=b$ 의 inner product로 나타낼 수 있으며, $\vec{a},\vec{x}$는 각각 column vector가 된다.

Single Matrix equation

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여러 개의 Linear euqation으로 이루어진 연립방정식을 나타내기 위해, $\vec{a}$를 연립방정식의 각각의 식들의 coefficients를 행렬로 두는 방법.

로 나타내며, A에 대한 역원($A^{-1})$이 존재한다면, $\vec{x}=A^{-1}b$가 된다.

Invertible

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$A$가 Invertible이라면, 해는 유일하게 존재한다.

$A$가 Invertible할 필요조건은 $\det A\ne 0$ 이며, A가 square martix여야 한다.
A가 square matrix가 아니라고 해서, $I_n$을 만들어내는 행렬이 존재하지 않는 것은 아니지만, A에 행렬곱을 하는 순서가 달라지면 $I_n$을 만들어 낸다는 보장이 존재하지 않는다.

2x2 martrix $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ 에 대해, $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$ 가 성립한다.

NonInvertible

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$A$가 Invertible이라면, 해는 존재하지 않거나 무수하게 많다.

$m\times n$ matrix $A$ 에 대하여,

• $m<n$: under-determined system, 존재하는 해가 무수하게 많은 경우가 된다.
• $m>n$: over-determined system, 해가 존재하지 않는 경우가 된다.